ALEXANDER, C. (2002). The nature of order. An Essay on the Art of Building and The Nature of the Universe. Book One The phenomenon of Life: Definition of Wholeness

Definición de completud[1]

La completud[2], W, es una característica del espacio físico el cual aparece en todos lados, en cada parte de la materia/espacio. Creo que es susceptible de una clara definición matemática y es caracterizado por una estructura matemática bien definida.

Considere cualquier región de espacio, R. Podríamos, por simple conveniencia, imponer una retícula o malla en el espacio, de tal manera que el número de puntos sea considerado finito, no infinito. Digamos que R contiene una cantidad de puntos n. En los casos en que se modelara el mundo real, usualmente habría algo de “colorido” o diferenciación de tipo o carácter entre los puntos n de R, de manera en que la región tenga una estructura visible o identificable. El más simple colorido que pudiera producir una estructura sería una en la cual algunos puntos son negros y los otros blancos. En el caso bidimensional, R sería entonces un dibujo en el cual veríamos algún objeto particular. En el caso en que el colorido no fuera abstracto, sino material, los puntos podrías tener asignadas etiquetas correspondiente a materiales físicos reales, por ejemplo, podrían incluir lo sólido o el vacío, o atributos como físicos o químicos. La región R por lo cual, tiene la intención de representar una parte del mundo real en su forma y organización geométrica completa.

Explicaré ahora cómo construir la completud W en la región R. Dentro de las regiones de espacio R, las cuales contienen n puntos, en las que habría dos subregiones distinguibles 2ⁿ. Podríamos llamar a alguna de esas dos típicas subregiones S_i. En lo subsiguiente, construiremos W reconociendo que esos son grados relativos diferentes de coherencia los cuales pueden ser observados en diferentes subregiones S_i.

Es un hecho empírico común que vemos regiones espaciales las cuales tienen diferentes grados de coherencia. Por ejemplo, consideremos una manzana como un conjunto coherente. Si consideramos el conjunto de puntos que consisten en la mitad de una manzana, probablemente lo consideremos como algo menos coherente que la manzana como un ente completo (…)

Reconocemos la coherencia en el mundo. Esta coherencia es justo el atributo al cual me he referido durante todo el Libro I con el término Vida[3]. La estructura de la completud W descansa en el hecho de que haremos explícitas tales distinciones de la vida, y las usaremos para erigir una estructura.

Para hacer explícita la idea de los diferentes grados de vida, introducimos una medida de vida c, en las subregiones de R. Llamaremos a cada posible subregión de R, S_i, el cual tendría un rango de 1 a 2ⁿ. La vida de la i-ésima subregión S_i sería entonces c_i. Cada c_i es un número entre 0 y 1, y a cada subregión de R se le dará su medida de vida. Las regiones más coherentes tienen una c_i cercana a 1, las regiones menos coherentes tienen un c_i de 0 o cercano a 0.

(…)

En todo lo subsiguiente, sin importar la definición específica de c, c_i, será entendida simplemente como alguna medida relativa a la vida, en la cual las regiones más coherentes S_i tienen una vida de 1 y las menos coherentes tienen una medida de 0, y las demás, valores intermedios.

Llamaré a las subregiones más coherentes de R, centros. Una región será considerada más o menos centrada de acuerdo a su vida. Las subregiones más coherentes S_i, las cuales tienen un c_i cercano a 1, serán llamados los centros de R. Aún entre los centros, hay grados de vida relativa -algunos son más coherentes que otros- pero todos ellos establecen, a través de su vida, un fenómeno de centralismo en el espacio.

(…) la completud W debe ser entendida como un sistema de centros, conteniendo las regiones más coherentes en R, ordenadas según rangos a su grado relativo de vida.

(…)

Defino la completud W como el sistema en el cual es creado por la región R, junto a la medida c y todas las subregiones que tienen una medida mayor a algún límite preestablecido y que los califica como centros. Para algunos propósitos prácticos, la completud W es creada por la interacción de la geometría de la región R y el rango del orden en el cual es creado en los centros de R por c.

(…) el carácter de una configuración es dado por el sistema particular de subregiones que están conectados, y por la forma en la que se traslapan y se mantienen esas subregiones conectadas.

(ALEXANDER, 2002a, pp. 446–447)

"(…) Apreciamos cada edificio como una extensión y mejora del territorio. Apreciamos cada cerca y barandilla de escalera como una extensión del edificio. Apreciamos, también, cada parte de cada edificio como una extensión de la ciudad en la que se sitúa, como una extensión de la calle y el barrio. Cada calle es una mejora del territorio. Cada edificio público es una mejora de la ciudad que crece -la cual en sí misma se vuelve más armónica, más profundamente conectada en el bienestar humano. Cada centro es agregado para incrementar y profundizar la armonía. El territorio se solidifica. La comunidad se enraiza. En detalle concreto, el proceso se desarrolla de esta manera:

1. Cada cosa viene del todo.

2. Comienza como una continuidad del territorio.

3. Abraza a la naturaleza, hace naturaleza, es naturaleza.

4. La naturaleza no se compone únicamente por musgo y ríos y árboles: A lo que propiamente debemos llamar naturaleza, es todo lo que continua de una secuencia continua de desdoblamientos, cada uno se desdobla del todo que la precede.

5. Como tal, por supuesto, la naturaleza puede incluir edificios, y caminos y puentes: junto a las rocas y la tierra y los cursos de agua, en su geometría multifacética (…)"

Alexander, Christopher (2005): The Nature of Order. An Essay on the Art of Building and The Nature of the Universe. Book Three A Vision of a Living World, pág. 678

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[1] (Traducción libre del autor)

Definition of wholeness

The wholeness, W, is a feature of physical space which appears everywhere, in every part of matter/space. It is, I believe, susceptible to a clear mathematical definition and is characterized by a well-defined mathematical structure.

Consider any region of space, R. We may, for convenience, impose a grain or mesh on the space, so that the number of points is considered finite, not infinite. Let us say that R contains n points. In cases which model the real world, there is usually some “coloring” or differentiation of type or character among the n points of R, so that the region has a visible or identifiable structure. The simplest coloring which produces a structure is a coloring in which some points are black, others white. In the two-dimensional case, R would then be a drawing in which we see some particular object. In the case where the coloring is not abstract, but material, points may be assigned labels corresponding to actual physical materials; for example, they might include solid and void, or various physical or chemical attributes. The region R is thus intended to represent a part of the real world in its overall geometric form and organization.

I shall now explain how to construct a wholeness W on the region R. Within the region of space R, which contains n points, there are 2n distinguishable subregions. Call a typical one of these subregions Si. In what follows, we construct W by recognizing that there are different relative degrees of coherence which may be observed in the different subregions Si.

It is common fact of experience that we see regions of space which have different degrees of coherence. For example, we consider an apple to be coherent If we consider the set of points that consists on half the apple, we shall probably consider it less coherent than the apple as a whole (…)

We do recognize coherence in the world. This coherence, is just that attribute which I have referred to throughout Book I as life. The structure of the wholeness W relies on the fact that we shall make such distinction of life explicit, and use them to erect a structure.

To make the idea of different degrees of life explicit, we introduce a measure of life c, on the subregions of R. Call each possible subregion of R, Si, where i ranges from 1 to 2n. The life of the i-th subregion Si is the to be ci. Each ci is a number between 0 and 1, and every subregion of R is to be given its measure of life. The most coherent regions have a ci which is 0 or close to 0.

(…) In all that follows, regardless the specific definition of c, ci, is simply to be understood as some measure of relative life, in which the most coherent regions Si have a life 1, the least coherent have a measure 0, and others have intermediate values.

I call the most coherent subregions of R, centers. A region will be considered more or less centered according to its life. The most coherent subregions Si, which have a ci close to 1, will be called the centers of R. Even among the centers, there are still degrees of relative life -some are more coherent than others- but all of them establish, through their life, a phenomenon of centeredness in space.

(…) the wholeness W is to be understoond as a system of center, containing the most coherent regions in R, rank-ordered according to their relative degree of life.

(…)

I define the wholeness W as the system which is created by the region R, togetherwith the measure c and all those subregions which have measure more than some threshold and thus qualify as centers. For some practical purposes, the wholeness W is created by the interaction of the geometry of the region R and the rank order which is created on the centers of R by c.

(…) the character of a configuration is given by the particular system of subregions that are connected, and by the way these connected subregions overlap and lie within each other.

[2] N. del A.: Después de considerar varias posibles traducciones al término Wholeness, entre Holismo, Integralidad, Completud o Completitud, decidí por Completud como el término más adecuado para las intenciones de Alexander, reconociendo que es un término inexacto.

[3] Cursivas agregadas por el autor.